El efecto piel en conductores cilíndricos y rectangulares: corrientes de Foucault y aglomeración de corrientes

Una corriente que varía en el tiempo tiene una distribución no uniforme a lo largo del área de la sección transversal del conductor. Para aproximar la resistencia de alta frecuencia de un conductor, podemos suponer que toda la corriente fluye uniformemente en una capa de una capa de profundidad justo debajo de la superficie del conductor. En realidad, esta aproximación se logra para un caso especial en el que el conductor es un medio espacio.

En la práctica, los conductores reales tienen dimensiones finitas y pueden tener una sección transversal circular o rectangular. La pregunta que cabe plantearse es si los resultados obtenidos para un semiespacio conductor se pueden aplicar a otros tipos de cables.

Podemos resolver las ecuaciones de Maxwell para un buen conductor para encontrar la siguiente ecuación diferencial para la densidad de corriente J:

$$\nabla ^2 J = j \omega \mu \sigma J$$

Si está oxidado en los conceptos de cálculo vectorial, el símbolo intimidante ∇2 (Del al cuadrado) se llama operador laplaciano. En pocas palabras, el operador laplaciano es una generalización del concepto de segunda derivada en espacios con más de una dimensión. Está dado por:

$$\nabla ^2 = \frac{\partial^2 }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 }{\partial z^2}$$

La ecuación 1 describe la distribución de corriente en un buen conductor. Es válido tanto para un semiespacio conductor como para un cable de sección circular. Sin embargo, las soluciones que obtenemos para estos dos tipos de soportes son completamente diferentes. Para un semiespacio conductor, la densidad de corriente es una función sinusoidal simple que decae exponencialmente (si asumimos que estamos tratando con una onda plana). Pero ¿qué pasa con un conductor cilíndrico?

A partir de tu experiencia en otros campos de la física que involucran una base cilíndrica, es posible que hayas adivinado correctamente que la respuesta a la Ecuación 1 debería incluir funciones de Bessel cuando el cable tiene una sección transversal circular. Esta no es una buena noticia para nosotros, los ingenieros, que siempre intentamos desarrollar un modelo simple para diferentes fenómenos. Las funciones de Bessel son útiles para modelar una amplia gama de problemas físicos, desde la conducción de calor en un objeto cilíndrico hasta la descripción de las vibraciones de una membrana circular delgada, como el parche de un tambor. Sin embargo, pueden ser difíciles de visualizar y obviamente son mucho menos sencillos que una simple onda sinusoidal que decae exponencialmente.

Debido a la complejidad de estas funciones, no entraremos en los detalles matemáticos del análisis y solo veremos los resultados presentados en el libro “Campos y ondas en la electrónica de comunicación” de Simon Ramo. La Figura 1 muestra la magnitud normalizada de la distribución de corriente a través de la sección transversal de un cable redondo de 1 mm de diámetro en cuatro frecuencias diferentes.

El parámetro r0 en el gráfico anterior denota el radio del cable. A una frecuencia (f) de 1 kHz, la profundidad de la piel es aproximadamente 4,2 veces mayor que el radio del conductor (o equivalentemente r0/δ = 0,239). Como puede verse, la distribución actual es casi uniforme en este caso.

A medida que aumenta la frecuencia, la profundidad de la piel disminuye y la relación r0/δ aumenta de 0,239 a 1 kHz a 7,55 a 1 MHz. Tenga en cuenta que incluso para r0/δ=2,39, la densidad de corriente en el centro del cable es casi la mitad que en la superficie del conductor. Esto no es consistente con la descripción simplificada del efecto piel que afirma que la densidad de corriente se reduce a e-1 = 0,37 de su valor superficial a una profundidad de δ.

La Figura 2 compara las distribuciones de corriente reales para r0/δ=2,39 y r0/δ=7,55 con la distribución que decae exponencialmente de la densidad de corriente (que corresponde a la propagación de ondas en un semiespacio conductor). Como puede ver, los resultados del caso del medio espacio se pueden utilizar para aproximar la distribución de corriente real en un cable redondo sólo si el radio de curvatura del conductor es mucho mayor que la profundidad de la piel.

Como regla general, si todos los radios de curvatura y espesores del conductor son al menos 3 a 4 veces mayores que la profundidad de la piel, asumimos que un conductor dado se parece a un bloque semiinfinito. Hasta ahora, en esta serie de dos partes, nos hemos basado en la resolución de las ecuaciones de Maxwell para describir algunas de las características más importantes del efecto piel. Se puede desarrollar una visión más profunda (y quizás más útil) de este efecto observando cómo la ley de inducción de Faraday puede producir corrientes parásitas dentro del conductor. Armados con esta información, podemos comprender mejor cómo se comportan las diferentes interconexiones.

Según la ley de Faraday, un campo magnético cambiante induce una fuerza electromotriz (y por tanto una corriente) en un cable conductor. El experimento simple y familiar de la Figura 3(a) ilustra la idea básica de esta ley. Al acercar un imán a una espira de alambre, se induce una fem en el alambre, lo que en consecuencia produce una corriente inducida.

La fem inducida es directamente proporcional a la tasa de cambio temporal del flujo magnético a través del circuito. Además, la corriente inducida tiende a oponerse al cambio en el flujo magnético original que produjo la corriente inducida en primer lugar (ley de Lenz).

La Figura 3 (b) muestra el flujo magnético inducido cuando el imán se acerca al bucle de cable. El campo magnético inducido se dirige de tal manera que intenta evitar que cambie el flujo magnético original.

Así como un campo magnético cambiante puede inducir una corriente en un bucle, también puede producir corrientes circulantes en una pieza de metal cuando se coloca en un campo magnético cambiante. Estas corrientes circulantes se conocen como corrientes parásitas, como se ilustra en la Figura 4.

Nuevamente observe la dirección de la corriente inducida. Suponiendo que el campo magnético de la bobina aumenta en la dirección representada, se induce una corriente en sentido antihorario para producir un campo magnético que se opone a los cambios en el campo magnético original de la bobina.

Cuando la corriente fluye a través de un cable, produce un campo magnético tanto dentro como fuera del cable. Con una corriente alterna, tenemos un campo magnético variable en el tiempo dentro del cable que, según la ley de Faraday, producirá corrientes parásitas dentro del cable. Esto se ilustra en la Figura 5 a continuación.

Como puede verse, las corrientes parásitas fluyen en la dirección de la corriente principal cerca de la superficie del conductor, pero en las partes internas del conductor fluyen en dirección opuesta. Por lo tanto, la corriente general que fluye cerca de la superficie del conductor aumenta, mientras que la corriente que fluye a través de capas más profundas del conductor disminuye.

Cabe señalar que ciertas superficies de un conductor pueden ser más efectivas para transportar corriente alterna que otras. Para entender esto, recuerde de nuestra discusión anterior que los campos magnéticos cambiantes causan el efecto piel. Ahora bien, si los campos magnéticos son más fuertes en una superficie particular del conductor, podemos esperar que esa superficie transporte una porción mayor de la corriente. Por ejemplo, considere la sección transversal de una línea microstrip que se muestra en la Figura 6.

La Figura 6 muestra el patrón general de los campos eléctricos y magnéticos, así como la distribución aproximada de la corriente en una línea microstrip. Tenga en cuenta que este no es un resultado simulado. ¡Solo muestra el comportamiento rudo!

¿Notaste que los campos magnéticos están más concentrados entre la superficie inferior de la traza y el plano de tierra? Como resultado, la superficie inferior de la microcinta transporta más corriente que su superficie superior. Por ejemplo, alrededor del 60% de la corriente podría concentrarse en la región sombreada más oscura del área de la sección transversal de la línea. El fenómeno de aglomeración de corriente en una superficie particular debido al efecto de un conductor adyacente que transporta corriente se conoce como efecto de proximidad.

Se observa un efecto similar cuando se trata de dos alambres cilíndricos paralelos (Figura 7). En esta figura, la dirección del flujo de corriente en los dos conductores es opuesta y, por tanto, el campo magnético entre los cables es el más fuerte. Como resultado, las corrientes se amontonan en las superficies enfrentadas.

Es interesante observar que incluso para un cable aislado (sin efecto de proximidad), es posible que no todas las superficies de un conductor transporten la misma cantidad de corriente. Por ejemplo, la distribución de corriente de un conductor rectangular delgado, ancho se muestra en la Figura 8. Como puede ver, la densidad de corriente en las superficies verticales es mayor que en las superficies horizontales. Esto se debe a que estas superficies tienen campos magnéticos más fuertes.

A partir de los resultados mostrados arriba para un conductor rectangular delgado, es posible que pueda adivinar cómo se ve la distribución de corriente para un conductor cuadrado. La Figura 9 muestra el hacinamiento de corriente en un conductor con una sección transversal cuadrada. La densidad de corriente es mayor en las cuatro esquinas.

Como comentamos al principio de este artículo, la distribución actual y la profundidad de la piel son función de la frecuencia. Naturalmente, la congestión de corriente también depende de la frecuencia de la señal de CA. No habrá aglomeración de corriente para las señales de CC y aumentará al aumentar la frecuencia (hasta cierto punto).

Con el hacinamiento actual, los conductores sufren efectos secundarios que deben tenerse en cuenta en aplicaciones reales. La resistencia efectiva de un conductor puede ser mayor que si asumimos una distribución de corriente constante. La aglomeración de corriente también puede provocar un mayor calentamiento y tensión en los conductores. Al crear nuevos diseños que utilizan señales que varían en el tiempo, es una buena práctica considerar siempre el impacto potencial de las corrientes parásitas y la aglomeración de corriente en el rendimiento del circuito.

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